Benoit Mandelbrot – žmogus, kuris matematikai suteikė grožio (Video)

Benoit Mandelbrot yra laikomas šiuolaikinės fraktalinės geometrijos tėvu. Spalio 14 dieną miręs 85 metų amžiaus sulaukęs mokslininkas visą gyvenimą tyrė netolygias arba „fragmentuotas” geometrines formas ir procesus, kurių bet kokio dydžio atskiros dalys arba segmentai yra panašūs į bendrą visumą.

Įdomu ir tai, jog jis turi sąsajų ir su Lietuva. Iki Mandelbrot „eros” matematikai beveik vieningai tikėjo, jog gamtoje pasitaikančios natūralios formos yra per daug sudėtingos, netaisyklingos, amorfinės ir fragmentuotos, kad jas būtų galima aprašyti matematinėmis formulėmis. Tuomet vyravusi klasikinė euklidinė geometrija daugiau nagrinėja „abstraktų formų idealizavimą”, nors realiame pasaulyje jų beveik nėra. Mandelbrot sugebėjo sugalvoti ir ištobulinti naują būdą, kuriuo būtų galima aprašyti amorfiškas natūralias formas – tokias kaip debesų, kalnų, jūrų pakrančių arba medžių kontūrų linijos. Mokslininko darbai tapo pagrindu vėliau sukurtai chaoso teorijai – netiesinių dinaminių sistemų matematikai.

Septintajame dešimtmetyje, dirbdamas IBM moksliniu bendradarbiu, Mandelbrot ėmėsi matematiškai analizuoti elektroninį „triukšmą”, kuris retkarčiais trikdydavo signalų perdavimo procesus IBM kuriamoje bei veikiančioje aparatūroje, taip nulemdamas klaidingus skaičiavimų ir matavimų rezultatus. Nors tokių klaidų prigimtis mokslui nebuvo žinoma, IBM mokslininkai atkreipė dėmesį į tai, kad trukdžiai įvykdavo savotiškais pliūpsniais; aparatūrai tam tikrą laiką veikus visiškai be klaidų, vėliau pasitaikydavo periodas, kurio metu klaidų būdavo gausybė.

Tirdamas tokius trikdžių telkinius, Mandelbrot pastebėjo, jog jų grupės sudarė tam tikrą dėsningą pasikartojimą ir kad kuo detaliau šios grupės buvo tiriamos, tuo sudėtingesnė darydavo jų struktūra. Kartais pasitaikydavo, jog aparatūra be klaidų dirbdavo valandą; kartais per valandą pasitaikydavo kelios klaidos. Tačiau jei klaidų „turinčią” valandą specialistai padalindavo į 20 minučių atkarpas, vėlgi pasitaikydavo klaidų neturinčių ir klaidų turinčių 20 minučių laiko vienetų.

Mandelbrot nustatė, jog analizuojant bet kokiu detalizavimo lygiu, šių laiko atkarpų (be klaidų ir su jomis) santykis išlikdavo pastovus. Kitaip tariant, elektroniniams trikdžiams buvo būdingas „savipanašumas”: bet kuris mažesnis laiko fragmentas, jį išdidinus, tiksliai atkartodavo didesnius laiko fragmentus.

Vėliau Mandelbrot pradėjo pastebėti tą patį „savipanašumo” reiškinį ir kitose srityse. Pavyzdžiui, kai jam teko statistiškai ištirti medvilnės kainų kitimą, mokslininkas pastebėjo, jog nors dienos, mėnesio ir metinė medvilnės kaina buvo atsitiktinis skaičius, dieninių, mėnesinių ir metinių kainų kitimą vaizduojančios kreivės buvo identiškos.

Pabandęs patyrinėti vandenynų ir jūrų pakrančių geometriją, jis aptiko dar vieną įdomų dalyką – žemėlapiai paprastai vaizduodavo tik stambiausias įlankas, tačiau kiekvienoje įlankoje visada pasitaikydavo mažesnių įlankų, kurios savo ruožtu turėdavo dar smulkesnių įlankas primenančių vandens telkinių.

Vienoje pirmųjų šiai temai skirtų savo publikacijų „How Long Is the Coast of Britain?” („Koks yra Britanijos kranto ilgis?”, 1967 metai) Mandelbrot vaizdžiai pademonstravo, jog atsakymas į šį klausimą priklauso nuo to, kokiu masteliu bus matuojama: pakrantės ilgis didėja, kuo smulkesni kranto įlinkiai yra „įtraukiami” į bendrą kranto kontūrą. Knygoje jis rašė, jog mastelį tokiu būdu „smulkinti” galima iki atskirų akmenų ir netgi pavienių smėlio smiltelių. Tokių pasikartojančių formų negalėjo paaiškinti jokie statistiniai metodai, tad Mandelbrot nusprendė sukurti tam tikslui tinkamą sistemą.

Žinoma, tokiam darbui prireikė ilgų metų. Tačiau per juos mokslininkas sukūrė fraktalinės geometrijos koncepciją, pagrindžiančią daugelio fraktalinių formų „savipanašumo” charakteristikas. Jis pats 1975 metais įvedė pavadinimą „fraktalas”, kuris išvertus iš lotynų kalbos reiškia „skaidyti”. Mandelbrot tyrimus apvainikavo ir didelis atradimas, kuriam išreikšti pakako neįtikėtinai paprastos matematinės formulės: z = z² + c. Šiai išraiškai dabar yra suteiktas ją atradusio žmogaus vardas ir ji yra vadinama „Mandelbrot rinkiniu” (angl. Mandelbrot set). Netrukus kompiuteriu sugeneruoti fraktalų vaizdai tapo populiariu drabužių bei muzikos albumų dekoravimo elementu.

Iš pradžių savo atradimus Mandelbrot aprašinėjo pavieniuose straipsniuose ir pristatinėjo retkarčiais pasitaikančiose paskaitose. Vėliau jis išleido knygą „The Fractal Geometry of Nature” („Fraktalinė gamtos geometrija”, 1982 metai), kurios kopijų šiandien yra parduota daugiau, nei bet kurios kitos moderniai matematikai skirtos knygos. Savo darbuose autorius dėstė savo požiūrį, jog dauguma tradicinių matematinių ir klasikinės geometrijos modelių prastai aprašo gamtoje pasitaikančias formas ir procesus. „Debesys nėra sferos, kalnai nėra kūgiai, pakrantės nėra apskritimai, medžio žievė nėra lygi, o žaibas nesklinda tiesiomis linijomis”, rašė mokslininkas.

Vietoj to jis kėlė idėją, jog šiuos ir kitus reiškinius, įskaitant akcijų biržos kainų kitimą, turbulentinių skysčių virpesius, geologinį aktyvumą, planetų orbitas, gyvūnų grupių elgseną, socio-ekonominius dėsningumus ir netgi muziką, galima modeliuoti naudojant fraktalus. Pavyzdžiui, brokolio ir kalafioro žiedo geometriją galima tiksliai aprašyti naudojant fraktalų teoriją.

Fraktalai, kaip atskira matematikos sritis, įsitvirtino prasidėjus kompiuterių „amžiui”. Dabar specialiomis modeliavimo programomis galima sukurti įvairių objektų – kalnų, pakrančių, medžių, debesų, ląstelių augimo bei kitų procesų „fraktalines klastotes”, kurios tarsi nežemišku panašumu atkartoja realius dalykus. Taikymo sritys taip pat įvairios ir visiškai praktiškos: kompiuterinis informacijos suglaudinimas, geriausių padangas sudarančios gumos komponentų paieška, orlaivio sparnų turbulencijų modeliavimas, medicininių nuotraukų tekstūrizavimas ir t.t.

Benoit B Mandelbrot (jis pats sau suteikė vidurinį inicialą, kuris iš tiesų nieko nereiškė) gimė 1924 metų lapkričio 20 dieną Varšuvoje (Lenkija) žydų kilmės lietuvių šeimoje. Jo tėvas uždarbiavo prekiaudamas drabužiais, mama buvo gydytoja. Šeima turėjo gilias akademines tradicijas, tad dar būdamas vaikas Mandelbrot pirmąsias matematikos žinias įgijo iš dviejų savo dėdžių.

1936 metais Mandelbrot šeima emigravo į Prancūziją, kur berniuko lavinimu rūpinosi jo dėdė Szolem Mandelbrot, kuris Prancūzijos Koledže (Collège de France) dirbo matematikos profesoriumi. Mandelbrot lankė Paryžiaus Rolin licėjų, tačiau išskirtiniais mokymosi rezultatais nepasižymėjo; sklido gandai, jog jis neišmoko net abėcėlės ir daugybos lentelės (nors šių gandų niekas taip ir nepatvirtino).

Prasidėjus karui, jo šeima persikėlė į Tulle – nedidelį miestelį į pietus nuo Paryžiaus. Karas, nuolatinė skurdo grėsmė ir būtinybė išgyventi nutraukė jo tolesnius mokslus mokykloje, todėl berniukas didžiąja dalimi buvo savamokslis.

Tuo laikotarpiu Prancūzijoje buvo įsigalėjęs stipriu analitiniu ir abstrakčiu mąstymu pagrįstas matematikos mokymas. Šioje srityje dominavo įtakingos jaunų matematikų-formalistų grupės, kurios savo publikacijas pasirašinėjo Nicolas Bourbaki pseudonimu. Mandelbrot dėdė Szolem’as taip pat buvo „Bourbaki” grupės narys, tačiau skirtingai nuo jo, Mandelbrot kai tik galėjo, siekė visas užduotis ne formalizuoti, o vizualizuoti, teikdamas pirmenybę geometrijai, o ne abstrakčiam formalizmui.

Nepaisant palyginti prastų mokymosi mokykloje rezultatų, jis netrukus pastebėjo turįs ganėtinai neįprastą gebėjimą „vizualizuoti” matematinius klausimus ir spręsti uždavinius, remdamasis geometrine nuovoka ir intuicija, o ne taikydamas „tinkamus” metodus ir griežtą loginę analizę. Po karo jis išlaikė stojamuosius egzaminus į École Polytechnique politechnikos institutą, kuriame iš algebros gavo aukščiausią įvertinimą.

Užbaigęs savo studijas, Mandelbrot persikėlė gyventi į JAV. Vėliau, remiamas žymaus matematiko John von Neumann’o, jis įstojo į Prinstono Pažangių studijų institutą (Institute for Advanced Study). 1955 metais jis grįžo į Prancūziją ir kurį laiką dirbo Nacionaliniame mokslinių tyrimų centre, tačiau 1958 metais vėl persikėlė į JAV. Tais pačiais metais jis pradėjo dirbti IBM moksliniu bendradarbiu Yorktown Heights mieste (Niujorko valstija) įsikūrusioje kompanijos laboratorijoje.

IBM Mandelbrot’ui suteikė visas sąlygas savarankiškai pasirinkti norimą tyrimų kryptį. Toks sprendimas turėjo daug toliau siekiančias pasekmes, nei kas nors galėjo įsivaizduoti. Mokslininko susidomėjimas fraktalais jį įtraukė į daugelį tarytum visiškai nesusijusių sričių: jis tapo kai kurių lingvistikos, žaidimų teorijos, aeronautikos, inžinerijos, ekonomikos, fiziologijos, geografijos, astronomijos ir fizikos šakų ekspertu. Jis taip pat su dideliu susidomėjimu studijavo mokslo istoriją.

Nors daugelis to meto akademinio pasaulio atstovų siekė vis didesnės specializacijos, toks platus Mandelbrot interesų spektras jam galiausiai pelnė „atsiskyrėlio” ir net „pašaliečio” reputaciją. Skeptikai pabrėždavo jo arogantišką nenorą įrodinėti savo teorijas ir jo pomėgį kelti „drąsius ir beprotiškus spėjimus”.

Nepaisant to, 2004 metais mokslininkas sėkmingai prognozavo artėjanti globalųjį finansinį nuosmukį, bankininkus perkeltine prasme palygindamas su „jūreiviais, kurie visiškai nepaiso jokių oro perspėjimų”. Mandelbrot IBM dirbo iki pensijos, o išėjęs į pensiją tapo Yale universiteto matematikos mokslų profesoriumi, taip pat matematikos pratybas vesdavo Harvardo universitete. Vėliau tapo Yale universiteto inžinerijos procesoriumi, École Polytechnique matematikos profesoriumi, Harvardo universiteto ekonomikos profesoriumi ir netgi Einšteino medicinos koledžo (Yeshiva universitetas, Niujorkas) fiziologijos profesoriumi.