Paskutinį vakarą Kalifornijos technologijos institute keli mokslininkai aptarė idėją, kuri iš pradžių atrodė tiesiog perspektyvi. Niekas nesitikėjo, kad jau kitą dieną jų studentai žengs lemiamą žingsnį ir pasiūlys sprendimą vienai iš labiausiai užsispyrusių ir gerai žinomų atvirų matematikos problemų. Ji susijusi su atsitiktinio klaidžiojimo procesais – reiškiniu, kuris dešimtmečius žavėjo tyrėjus savo fundamentaliu nenuspėjamumu.
Šis atradimas padėjo atsakyti į esminį klausimą: kodėl vienos atsitiktinės trajektorijos atrodo tarsi „prisimena“ savo praeitį, o kitos – lyg ją visiškai pamiršta. Gauta įžvalga ateityje gali reikšmingai pakeisti tai, kaip mokslininkai modeliuoja įvairius reiškinius – nuo mikroskopinio dalelių judėjimo iki sudėtingos socialinių sistemų dinamikos.
Atsitiktinis klaidžiojimas ir jo pritaikymai
Atsitiktinis klaidžiojimas – tai matematinis modelis, aprašantis kelią, susidarantį iš nuoseklios atsitiktinių sprendimų sekos. Įsivaizduokime, kad stovime sankryžoje ir kiekvieną kartą metame monetą, norėdami nuspręsti, kuria kryptimi eiti. Kartodami šią procedūrą daugybę kartų, gauname būtent tokio tipo procesą.
Iš pirmo žvilgsnio paprasta idėja turi itin platų ir kartais netikėtą pritaikymą. Biologai ja aprašo gyvūnų klajones ieškant maisto, fizikai – dalelių difuziją skysčiuose, o informatikai šiuo principu remiasi kurdami įvairius algoritmus ir optimizavimo metodus.
Su atsitiktinio klaidžiojimo procesais yra susidūręs praktiškai kiekvienas, žaidęs tokius žaidimus kaip „Minecraft“, „Diablo“, „Slay the Spire“ ar „Hades“. Juose naudojami algoritmai generuoja atsitiktinius, beveik niekada tiksliai nepasikartojančius požemius ir kraštovaizdžius, paremtus tuo pačiu matematiniu principu.
„Atminties“ problema: kodėl vieni procesai ją išlaiko, o kiti praranda?
Daugelį metų matematikams galvosūkį kėlė vadinamasis „atminties“ klausimas. Kai kurie atsitiktinio klaidžiojimo procesai elgiasi taip, lyg „žinotų“ savo ankstesnius žingsnius ir vengtų susikirsti su kitomis panašiomis trajektorijomis. Kiti, priešingai, tarsi visiškai ignoruoja savo istoriją ir ilgainiui suartėja su procesais, kurie prasidėjo visai kitur.
Kalifornijos technologijos instituto mokslininkas Omeras Tamuzas, tiriantis ekonomikos ir matematikos sankirtą, šį reiškinį aiškina pasitelkdamas visuomenių raidos analogiją. Įsivaizduokime dvi civilizacijas: viena sparčiai vystosi technologiškai, o kitą sukrečia didžiulė gamtinė katastrofa. Ar šis skirtumas laikui bėgant didės, ar pamažu išnyks?
Matematikams jau seniai buvo žinoma, kad egzistuoja tiek „atmintį išsaugantys“, tiek ją prarandantys atsitiktinio klaidžiojimo tipai. Tačiau ilgą laiką nepavyko tiksliai įvardyti savybės, kuri nulemtų, kuriai grupei priklausys konkretus procesas. Būtent tokio aiškaus kriterijaus ir trūko dešimtmečius trukusioms paieškoms.
Proveržis: geometrinis kriterijus
Proveržį pasiekė Omero Tamuza, Joshuy Frischo, Yairo Hartmano ir Pooyos Vahidi Ferdowsi komanda. Lemiamu veiksniu tapo netikėtas algebros ir vektorinės geometrijos derinys. Mokslininkams pavyko nustatyti konkretų geometrinį kriterijų, leidžiantį visus atsitiktinio klaidžiojimo procesus suskirstyti į dvi aiškias klases.
Vieni procesai ilgainiui linkę „susitikti“ su kitais, tarsi prarasdami individualumą. Kiti, priešingai, išsaugo savo išskirtinumą ir lieka jautrūs pradinėms sąlygoms. Šis tarpdisciplininis požiūris, sujungęs tikimybių teoriją, algebrą ir geometriją, atvėrė kelią išspręsti problemą, kuri ilgą laiką atsilaikė net prieš geriausių specialistų pastangas.
Pats atradimo procesas priminė dramą. Po įkvepiančio pokalbio su profesoriumi Tamuzu studentai dirbo iki vėlumos, o kitą rytą pristatė rezultatus, aiškiai parodančius, kad mįslė įminta. Kaip vėliau prisiminė Pooya Vahidi Ferdowsi, visa komanda buvo sužavėta pasiektu rezultatu.
Kodėl tai svarbu: ne tik gardelės, bet ir abstrakčios grupės
Norint suprasti šio pasiekimo mastą, svarbu pabrėžti, kad kalbama ne apie vieną paprastą klaidžiojimo procesą įprastoje gardelėje. Tyrimas apima visą klasę klaidžiojimų, vykstančių vadinamosiose grupėse – abstrakčiose struktūrose, kurios sudaro vieną iš moderniosios algebros pamatų.
Tokių grupių „geometrija“ gali būti stulbinamai turtinga. Kartais jos primena erdvę, kurioje nesunku sugrįžti į pradinio taško apylinkes, o kitais atvejais kiekvienas žingsnis tarsi stumia vis toliau nuo ankstesnės padėties. Būtent šiame sudėtingame kraštovaizdyje ir iškyla klausimas apie atsitiktinio proceso „atmintį“.
Jau seniai žinoma, kad egzistuoja „pasauliai“, kuriuose skirtingos atsitiktinės trajektorijos ilgainiui tampa panašios – tarsi pats atsitiktinumas išlygintų pradines skirtis ir panaikintų ankstyvųjų pasirinkimų įtaką. Tačiau yra ir tokių struktūrų, kur to neįvyksta, o pradinė padėtis palieka neišdildomą žymę.
Iki šiol problema buvo ta, kad trūko paprasto ir aiškaus kriterijaus, leidžiančio iš anksto nuspręsti, su kuriuo scenarijumi susiduriama. Naujojo tyrimo vertė slypi būtent šiame aiškume: užuot rėmusis vien sudėtingais tikimybiniais argumentais, pavyko rasti geometrinį požiūrį, aiškiai atskiriantį du atvejus.
Praktinė reikšmė: nuo algoritmų iki socialinių sistemų
Šią idėją galima palyginti su fizika, kur žinant tam tikrą parametrą galima numatyti medžiagos būsenos pokytį. Nebereikia simuliuoti milijonų dalelių, kad suprastume, kas vyksta – pakanka nustatyti esminę ribą. Panašiai ir čia geometrija tampa raktu, leidžiančiu prognozuoti atsitiktinio proceso elgseną.
Atsitiktinio klaidžiojimo modeliai yra vienas iš pamatinių įrankių, slypinčių po daugybe skaičiavimo metodų. Jie taikomi paieškos sistemose, rekomendavimo algoritmuose ir sudėtingų tinklų analizėje. Žinojimas, ar procesas linkęs „susiglausti“ su kitais, ar išlieka jautrus pradinei būsenai, leidžia geriau numatyti algoritmų veikimą.
Biologijoje ir fizikoje tai gali reikšti skirtumą tarp difuzijos, kuri ilgainiui viską „sumaišo“ iki vienalytės būsenos, ir judėjimo, paliekančio ilgalaikius pėdsakus. Socialiniuose moksluose toks požiūris padeda formaliai aprašyti reiškinį, kai ankstyvieji įvykiai nulemia ilgalaikes trajektorijas: vienos sistemos sugeba grįžti į pusiausvyrą, o kitose pradinis impulsas sukelia ilgalaikių pasekmių.
Ypač intriguoja tai, kad lemiamas kriterijus yra geometrinis. Tai suteikia vilčių, jog ateityje bus galima praktiškai tirti sudėtingų sistemų savybes analizuojant pačią jų struktūrą. Užuot kūrus milžiniškas simuliacijas, kai kuriais atvejais gali pakakti ištirti tinklą ar būsenų erdvę ir iš anksto numatyti, ar modelis bus stabilus ir prognozuojamas, ar ilgainiui išliks jautrus savo pradžiai.
